Termux: ¿ La suma de varios números primos consecutivos es un número primo ?

Si tenemos varios números primos consecutivos, surge la pregunta de si la suma de los mismos sigue siendo un número primo.
Si sumamos un número par de números primos tendremos un número par, que no es primo, por lo que sólo podremos obtener un número primo si sumamos un número impar de números primos, y claro, no siempre será primo.

A continuación un script en PARI-GP que permite generar/contar  secuencias para tres y cinco primos consecutivos..
Se incluyen varias líneas para mostrar en pantalla y grabar las secuencias válidas en ficheros.

\\ \\ Suma de números primos consecutivos \\ sump1(ei,es) = { fsum="sump.csv"; fsum3="sum3p.csv"; fsum5="sum5p.csv"; n0=nextprime(10^ei); n1=nextprime(n0+2); n2=nextprime(n1+2); n3=nextprime(n2+2); n4=nextprime(n3+2); np=0; np0=0; print (" 10^x Sum 3 Primes Sum 5 primes Time(ms)"); print (" ---- -------------- -------------- ------------"); while(ei<=es, t = getabstime(); ts=10^(ei+1); while(n0<=ts, if ( ispseudoprime(n0+n1+n2), \\print("sum is prime: ", n0," ",n1," ",n2," ",n0+n1+n2); \\write(fsum," ", n0," + ",n1," + ",n2," = ",n0+n1+n2); \\write(fsum3," ", n0," + ",n1," + ",n2," = ",n0+n1+n2); np=np+1; ); if ( ispseudoprime(n0+n1+n2+n3+n4), \\print("sum is prime: ", n0," ",n1," ",n2," ",n0+n1+n2); \\write(fsum," ", n0," + ",n1," + ",n2," + ",n3," + ",n4," = ",n0+n1+n2+n3+n4); \\write(fsum5," ", n0," + ",n1," + ",n2," + ",n3," + ",n4," = ",n0+n1+n2+n3+n4); np0=np0+1; ); n0=n1; n1=n2; n2=n3; n3=n4; n4=nextprime(n3+2); ); printf(" %4d %14d %14d %10d", ei, np, np0,(getabstime() - t)); print("ms"); ei=ei+1; ); }
Una vez cargado el fichero en pari-gp se llama la función mediante el comando sump1(0,9). En este caso vamos a generar/contar las secuencias en el rango 10^0 - 10^9 . En la tabla adjunta se muestran los valores obtenidos en una tablet Praga ejecutando PARI-GP V.2.11.0

10^x	Sum 3 Primes	Sum 5 primes	Time(ms)
0	2	2	0ms
1	15	13	0ms
2	66	75	47ms
3	392	352	266ms
4	2353	1947	937ms
5	15110	12768	6313ms
6	107553	90677	49359ms
7	803458	679676	136380ms
8	6227154	5288732	1397410ms
9	49692364	42366777	48718060ms

Si utilizamos la opción de generar los ficheros con las secuencias válidas podemos observar varios casos interesantes:

• Dos secuencias de tres y cinco primos con los tres primos iguales:

          9999943 + 9999971 + 9999973 = 29999887
          9999943 + 9999971 + 9999973 + 9999991 + 10000019 = 49999897

• Tres secuencias de tres primos  consecutivas 

            491 + 499 + 503 = 1493
            499 + 503 + 509 = 1511
            509 + 521 + 523 = 1553

•  Cinco secuencias de tres primos consecutivas

           3253 + 3257 + 3259 = 9769
           3257 + 3259 + 3271 = 9787
           3259 + 3271 + 3299 = 9829
           3271 + 3299 + 3301 = 9871
           3299 + 3301 + 3307 = 9907

        Pregunta: ¿Cual será el máximo de secuencias consecutivas?